Как-то раз у Эйнштейна  поинтересовались, чем он отличается от обычного человека. И знаете, что ответил гений? Что если обычного человека попросить поискать иголку в стоге сена, то поиски прекратятся, когда иголка найдется. Сам же Эйнштейн, напротив, продолжит это занятие ради того, чтобы найти в стогу все возможные иголки. Для чего я вспомнила эту историю? Просто однажды ко мне на курсы дошкольников, где мы часто разбирали математические головоломки, пришёл очень умный мальчик.

Какими могут быть математические головоломки для маленького Эйнштейна?

Конечно, этот мальчик был не единственный смышленый ребёнок в группе – нет. Умненьких и быстро соображающих детей было много. По правде говоря, почти все. Но этот был особенный. Чем? Нет, не тем, что справлялся с заданиями быстрее и качественнее других. Были ребята, выполнявшие задания так же быстро и с таким же правильным результатом. Чем же тогда был особенен это мальчик?  А он единственный из всей группы говорил о себе: «Я всё всегда решаю правильно!». Маленький хвастунишка? Было бы так, но ведь он действительно с любым заданием здорово справлялся! По большому счету, он не хвастался, а констатировал очевидный факт. Какие бы математические головоломки ему ни попадались – он их решал.

И это заставило меня задуматься. Что делать с ребенком, который со всем справляется? Не буду же я на занятии, посвященном логическим  рядам, предлагать ему доказать непериодичность последовательности x_k , где x₁=1, x_n + 1=n sin x_n+1. Это было бы слишком нечестно)

А чем тогда занять маленького хвастунишку? Вот тут-то ярко блеснула в памяти история с Эйнштейном. Возможно – как знать! — у меня в группе сидит будущий гений российской науки. Всё может быть. И именно поэтому надо направить его по следам великого Эйнштейна. Каким образом? Методологически. Допустим, математические головоломки с ответами — это поиск иголки в стоге сена. Найдя эту иголку – то есть правильный ответ – все дети останавливаются на достигнутом и чувствуют себя вполне довольными.  А что, если для таких детей, которым уже недостаточно просто найти решение, подложить вторую иголку в стог сена? И потом третью? То есть удлинить и усложнить привычные задачи. Так родилась идея логических  креативов для будущих Эйнштейнов)

• Маленький креативчик для начала
• Еще один небольшой креатив
• Креатив побольше
• Большой креативище
• Настоящие математические головоломки начинаются с решения, но не заканчиваются им

Маленький креативчик для начала

Если уж из всех ответов к задаче будущий Эйнштейн всегда выбирает правильный, то не предложить ли ему задачу, где нужно выбрать ответ из двух правильных? Ну и не просто выбрать, конечно, а обосновать.  Сказано – сделано.

Вот тут-то настала пора задуматься и поискать в стогу очевидности  иголку неопровержимых доказательств. Кстати, знаете, что говорят большинство людей, видевших эту задачу? «Оба ответа правильные». То есть, в глубь стога они явно не лезут…  А знаете, что говорят большинство детей, видевших эту задачу? Да, они говорят то же самое. Оба ответа правильные. А если не оба? Ну не знаю…

Маленький хвастун не стал говорить, что оба. Он подумал и выбрал первый вариант. Объяснение было такое: «Представим, что нижнюю часть тёмного треугольника раскрасили чем-то светлым. А после перевернули этот треугольник. Потом взяли светлый квадрат. И тоже покрасили его нижнюю половинку в другой цвет. А после тоже перевернули.  Получился ответ номер один».

И тогда я спросила его, почему он решил, что сначала красят, а потом переворачивают? А может, наоборот? Сначала переворачивают фигуру, а потом красят? Тогда ответ номер два.  И он немедленно спросил меня: «А почему вы решили, что сначала переворачивают, а потом красят»? И мы тут же поняли, что история с переворачиванием и покраской – тупиковая. Действительно непонятно, что делали сначала – красили или переворачивали. Кроме того, сколько квадрат ни переворачивай (в отличие от треугольника), он всегда один и тот же. Однако наличие тёмной половины  вверху или внизу квадрата у этой головоломки с решениями надо как-то объяснить. И это объяснение, стало нам понятно, не может быть связано с переворачиванием.

Выход, конечно, нашелся — и довольно простой. У нас он получился таким: у второго треугольника  темное донышко – это остатки бывшего «главного» цвета, доставшегося ему от предыдущего треугольника. Значит, новому квадрату достанутся в наследство от первого квадрата такие же «остатки» основного цвета, точно так же оставленные в нижней части фигуры. Это вариант номер два.

Но, пожалуй, если бы маленький хвастун как-то ловчее объяснил бы свой первоначальный выбор с вариантом номер один, то правильным вариантом стал бы именно он. Как говорил великий  Эйнштейн, всё в мире относительно.

Еще один небольшой креатив

Есть математические головоломки, где надо восстановить уже готовую, но поврежденную  последовательность. Например, такую:

Абсолютное большинство дошкольников, первый раз столкнувшись с задачей такого типа, рисуют одну или две фигурки в облачке. Чтобы правильно найти решение, надо всего лишь определить тип последовательности. Эта – самого простого типа, где постоянно повторяется один и тот же набор фигур.

Обнаружив повтор первый раз, мы понимаем, что этот повтор будет использоваться на протяжении всего ряда. Но нас должны интересовать красные круги. И не потому, что они яркие и самые заметные, а потому, что они стоят по краям облачка. А значит, облачко закрывает именно те фигуры, которые стоят между двумя красными кругами.  Эти фигуры мы можем подглядеть в видном нам отрезке цепочки.  И конечно, их будет три.

Креатив побольше

Разновидностью такой «поврежденной последовательности» являются математические задачи на логику, где весь логический ряд в порядке, кроме начала. Например, такая:

Здесь нам придется отматывать события назад. Тоже отслеживать закономерности в цепочке – но как бы в обратном порядке. Такую интересную возможность нам дают математические головоломки в картинках.  Простым повтором здесь не обойтись – просто потому, что здесь его нет, простого повтора. Никакая фигура не повторяется. Здесь действуют хитрые повторы, нападающие по-разному на разные элементы фигур.

Математические загадки на логику, где работают два повтора – но не враз, а каждый в своем ритме – разобраны подробно в этой статье

Так и будем отслеживать эти хитрые повторы – по очереди. Для квадратных элементов (именно с них дети обычно и начинают)  действует самый легкий вид повтора – «чередование». Мы видим, что квадратов то два, то один, то снова два. Отлично. По количеству вроде бы всё ясно. Картина представляется такой:

Или такой?

Да, не всё так просто, как казалось в начале. На какой высоте должны располагаться прыгающие квадратные элементы? По-видимому, это зависит от «лодочек», на которые «погружены» эти квадраты. Вернее, от их количества. Поэтому беремся за лодочки. У них тоже есть повтор – но свой. Хотя проследить этот повтор совсем нетрудно. Три лодочки – две – одна – три… Дальше  — две и одна. Все трудности исчезли!

Залазим в стог сена ещё дальше

Однако когда дело сделано, мы не будем бросать эту задачу. Потому что  математические головоломки могут появляться тогда, когда задача уже решена. Спросим детей: а может ли в этом ряду повториться самый первый элемент, который мы восстановили? (Это и есть дополнительная – вторая —  иголка в стогу сена). На этот вопрос можно ответить, не делая продолжения рисунка. Потому что, во-первых, этот повтор очень близок – до него всего один шаг и его легко представить.  Ведь именно на шести фигурах иссякло разнообразие всех повторов. А на седьмой фигуре эти повторы снова встретились и дружно принялись за дело – каждый за своё. А во-вторых, можно начать учиться продолжать последовательности  мысленно – это и быстрее, и интереснее!

Эта цепочка фигур только притворялась сложной. Да, у неё были разные повторы для разных элементов. Но на деле всё оказалось очень просто: обычная, самая-самая простая последовательность. Её повторяющийся набор состоит из шести фигур. И эти шесть фигур будут повторяться полностью до бесконечности.

Большой креативище

Самые интересные для детей математические задачи на логику с ответами – это те, в которых есть не только логическая логика, но и возможна какая-то история. И желательно поинтереснее. Метод захватывающих историй   не раз помогал нам в поиске логических закономерностей. Поможет и сейчас!

Хотя отыскать продолжение для этой логической последовательности – уже нелегко. Она довольно замысловатая. Но начнем именно с этого. Найти продолжение ряда – значит найти первую, хотя и хитро спрятанную иголку в большом стоге сена.

На что это похоже? Да, на арбуз. На типичный арбуз. А еще… на яйцо земляничного страуса! Жителя инопланетных ферм. Его красное яйцо надежно защищено толстым зелёным коконом от атак горячих метеоритов. Ну или еще какой-нибудь неконтролируемой  космической напасти… И вот сначала это яйцо лежит просто так, без признаков жизни. Но потом изнутри началось шевеление, маленький инопланетный страус заворочался… И вот тогда верхняя скорлупка кокона приподнялась (шаг 2). Яйцо выглянуло наружу (шаг 3). Страус продолжал шевелиться внутри – и нижняя скорлупка кокона слегка отодвинулась вниз (шаг 4).  А потом яйцо стало видно полностью (шаг 5). Что дальше будет происходить с зеленым коконом и с розовым яйцом?

Конечно же, он не захлопнется обратно (прощай, вариант ответа № 1). И не станет похожим на земной арбуз (№ 2) или на земного крокодила (№ 6). По логике событий, зеленая скорлупа отлетит еще дальше. Нам останется выбрать из наиболее вероятных вариантов.

Найдём иголку номер один

Вариант номер три, подумав, отбросим: красное яйцо там  неожиданно раскололось на  две половины. Однако причин для этого никаких нет. На протяжении всего ряда красное яйцо оставалось целым. Поэтому прощай, третий вариант! А вслед за ним и пятый. Почему пятый? Да потому что неподвижное красное яйцо там неожиданно подпрыгнуло. А в данном нам ряду фигур оно неизменно оставалось не только целым, но и… неподвижным. Двигались вокруг него только скорлупки. Значит, в финал вышли номера четыре и семь. Разница между ними в том, что верхние скорлупки находятся на разном уровне.

Глазомер поможет нам разобраться с этим вопросом. Мы проанализируем, с какой скоростью верхняя скорлупка движется вверх. И увидим, что эта скорость не так-то велика на самом деле. Она довольно черепашья, по правде-то сказать.

И вариант семь вписывается в такой неторопливый ритм подъема идеально, в отличие от варианта четыре.

Иголка номер два. Наконец-то!

Задачка решена. Нашли алгоритм… выбрали ответ… Как-то не хочется покидать этот логический ряд. Хочется посмотреть, что же будет с ним дальше. Увидеть, каким будет земляничный страус, вылупившийся, наконец, из этого медленно раскрывающегося кокона. Что ж, можно и продолжить задачку! Это может быть очень интересно, неожиданно и рискованно – так, как мы попробовали однажды с очень простыми последовательностями. На наших глазах совсем простой ряд фигур превращался в ультра-сложный! А сейчас пойдем еще дальше!

Итак, теперь нас интересует вопрос: на каком ходу птенец появится на свет?  Как это будет происходить? Ведь  жизнь в последовательности не заканчивается, когда найден ближайший ответ. Подставим вариант номер семь в последовательность и продолжим задачу!

Здравствуй, страус! Или прощай, страус?

Закон говорит скорлупкам: постоянно двигайся (то вверх, то вниз) и меняй положение относительно красного яйца. Мы подставили в последовательность найденный вариант и увидели, что скорлупкам настала пора выполнять  закон «меняй положение».

А как изменить положение, если скорлупка уже находится позади яйца? Да, она должна переместиться вперед и прикрыть собой яйцо. Иначе закон перестанет выполняться. С этого шага начинается ряд фигур, где скорлупка будет снова прикрывать яйцо:

А на следующем шаге скорлупкам надо выполнять закон «двигайся». Поначалу (ход номер восемь) нижняя скорлупка еще продолжает отдаляться. На девятом ходу она закрывает яйцо,  как это уже чуть ранее сделала верхняя скорлупка.

На десятом ходу у верхней скорлупки возникает  вопрос: а куда двигаться дальше? (Да, математические головоломки тем и интересны, что вопросы могут возникать когда угодно и у кого угодно). Допустим, скорлупка по-прежнему двигается вверх. Но тогда потеряется контакт с красным яйцом! И скорлупка уже не сможет выполнить следующий закон — «меняй положение относительно яйца».

Скорлупке остаётся менять  свое положение в обратную сторону – в сторону сближения.  Других вариантов нет. И это очень предусмотрительно, потому что на одиннадцатом ходу она спокойно выполняет перестроение и меняет своё положение, прячась за яйцо.

Так скорлупка и будет то загораживать яйцо, то сама прятаться за него. То, что задача решена – ура! То, что мы не увидим вылупившегося розового страуса – увы.

Иголка номер три

Но тут возникает следующий вопрос: сомкнется ли яйцо в первоначальное состояние? Как, например, в последовательностях-палиндромах?  Хотя бы на каком-нибудь двадцатом ходу или на тридцать втором? В экспериментальных целях можно продолжить последовательность еще дальше. Хватит ли у вас терпения?

И маленький хвастун (из начала статьи) этот рисунок сделал. Это заняло у него не так уж много времени. А сделав, он увидел, что яйцо, наконец,  захлопнулось на 16 ходу. И еще на 32 ходу. Дальше рисовать он не стал – потому что осознал, что то же самое будет на 48 ходу и так далее.  Я повторила этот думательно-рисовательный подвиг в электронном виде:

Настоящие математические головоломки начинаются с решения, но не заканчиваются им

На самом деле в предыдущей задаче есть еще и иголка номер четыре – и очень интересная. Вопрос такой: а под каким номером повторяется фигура номер два? А номер три? И через какое-то (иногда очень продолжительное время) выслушать удивительный ответ: а они… не повторяются. И это действительно так. У ребенка постарше можно спросить – почему же они остались такими уникальными и встретились нам только однажды? Ведь все остальные фигуры будут стабильно повторяться через каждые двенадцать шагов…

На наших глазах уже решенные закономерности превращаются в новые математические головоломки! Не исключено, что из этого «стога» можно выудить потом иголку номер пять, если засучить рукава.  В логический набор «Продолжи закономерность» задача «про земляничного страуса» тоже включена. Есть там и более сложные задачи, но есть и более простые. Всё для того, чтобы каждый ребенок – независимо от своего опыта – мог вместе с набором развивать логику, память, внимательность, фантазию и мышление. Ну и открывать для себя новые интеллектуальные горизонты, с интересом осваивая и постигая новое.

Читать еще:

Что такое хорошая логическая задача для дошкольников

В задании НАЙДИ ЛИШНИЙ картинка хитрее тебя!

Таблица умножения: спасут карточки для запоминания