Умножение ума 
Оболочка бывает у огромных аэростатов – туда закачивают легкий газ. Они величественно плывут по небу, как летящие рыбы, удивляя тех, кто остался на земле. А еще оболочка бывает у… куба. И тоже для полёта – но на этот раз для полёта мысли. С этим явлением связаны интереснейшие задания по математике. Такие задачи – про «летающие» кубы – поистине не знают границ. Перед ними равны и пятиклассник, и дошкольник. Да и взрослый человек иной раз глубоко задумается, глядя на лежащую перед ним оболочку куба.И если оболочка некоторых аэростатов в «развёрнутом» виде может занимать футбольное поле, то оболочка куба уместится у вас на ладони. Или – что еще компактнее – в голове. Ну а по-настоящему задачи про кубики живут в сердце – мы любим их с детства!
У любой задачи про кубики есть два «золотых» правила, которые никогда не подведут даже новичка!
- Оболочка куба – какая она?
- Кубонавты упаковывают подарки
- Самое главное пространственное открытие
- Запускаем 2 золотых правила в задачи про кубики и наслаждаемся мгновенным решением!
- Исследуем карту кубика
- Список первоклассных тем для развития мышления
Оболочка куба – какая она?
С воздушных шаров когда-то начиналась гражданская авиация. Ну а задачи про кубики могут стать отличным началом для строительства «пространственного воображения». (Так сейчас многие заменяют очень уж сухой научный термин «пространственное мышление».) И если людей, летающих на воздушных шарах, называют аэронавтами, то людей, с азартом решающих задачи про кубы, можно называть кубонавты. Почему бы и нет?
Куб – это правильный многогранник, у которого все грани – квадраты. Поэтому современным детям будет, наверное, понятнее, если назвать куб «3-D квадрат». Чтобы не запутаться в терминах, посмотрим на этот рисунок, где все части подписаны. Так мы и будем употреблять эти термины в дальнейшем.
Это определение куба взято из учебника математики за 5 класс. Но с кубами дети встречаются еще в самом нежном, дошкольном возрасте. Сначала дети с ними просто играют. А потом, не переставая оставаться дошкольниками, решают задачи на развитие пространственного мышления, глядя на развёртку куба. Если, конечно, развитием мышления ребенка (в том числе и пространственного) занимаются не по «минимуму».
Однако чтобы предлагать для решения задачи про кубики, ребенка нужно сначала познакомить с самим термином «развёртка». А сделать это надо, конечно, на практике. Куб, склеенный из картона или бумаги, можно разрезать по некоторым рёбрам. А потом развернуть его на плоский лист – это и будет, то, что называется «развёртка» куба. Чтобы детям было понятнее, можно использовать слово «оболочка» куба. Они должны понять, что развёртка позволяет увидеть куб одновременно со всех сторон. А в жизни это, конечно, невозможно.
Кубонавты упаковывают подарки
Всего существует 11 видов разверток – и каждая состоит из 6 равных квадратов, потому что каждый квадрат – это и есть сторона (грань) куба.
Если сравнить куб с квадратной коробкой для упаковки подарков, то грань, на которой он стоит, можно назвать донышком. Тогда противоположная грань, которую мы видим и которая находится сверху, можно назвать крышечкой. Донышко и крышечка – это противоположные грани куба, которые никогда «не встретятся». То есть, у них нет ничего общего: ни общих рёбер, ни общих вершин.
Можно потренироваться в отыскании противоположных граней для начала на самом распространенном типе развертки – «Т-образной»:
Какую бы грань мы ни назначали донышком, крышечка будет всегда располагаться наверху. А на развертке между донышком и крышечкой будет неизбежно «вклиниваться» другая грань. Она не даёт встретиться донышку и крышечке (как на рисунках 1, 2, 3).
Самое главное пространственное открытие
И правило это совсем не сложное. «Все грани куба, которые не являются противоположными, — соседние». А соседи всегда тесно общаются друг с другом. В случае с соседями-гранями — они соприкасаются, то есть имеют общее ребро. Как ни странно, но детям бывает довольно трудно в это поверить. Потому что на развертке (говорим пока про «Т-образную» развертку) некоторые соседние грани выглядят «далёкими». Это из-за того, что они разнесены в разные концы развёртки. Но стоит один раз провести нехитрый эксперимент по складыванию развертки в готовый кубик – и всё становится на свои места.
Этот эффект можно объяснить на карте мира. Если посмотреть на карту номер один на следующем рисунке, то кажется, что от Чукотки до Аляски – огромное расстояние. А на деле они – соседи, разделенные Беринговым проливом. Причем ширина пролива в этом месте менее 4 километров. Поэтому путь от России до Америки по крепкому льду здесь займет примерно один час пешком. Это видно на карте номер два. И Чукотка, и Аляска остались на прежних местах, только переместился взгляд наблюдателя:
Таким образом, если карта – это «развертка» нашей Земли, то развёртку кубика можно смело назвать картой кубика. Ну и второй логический закон при работе с разверткой: если мы на 3-d модели (т.е. на готовом кубике) видим донышко, то не видим крышечку – и наоборот.
Запускаем 2 золотых правила в задачи про кубики и наслаждаемся мгновенным решением!
Если усвоить два этих нехитрых правила, то сразу становится легко решаемым целый пласт задач на развитие пространственного мышления с использованием развертки — таких, как эта, например:
Такие задачи про кубики можно решать методом исключения. Надо проверить каждый кубик на наличие противоречий, используя правило о противоположных гранях. Можно начать с наиболее «подозрительного» — или просто двигаться по порядку.
Начнем с последнего кубика – он повернут к нам пустыми гранями. На развертке, действительно, есть три белых грани, которые ничем не заполнены. Но на развертке мы видим их нарисованными в ряд. Это значит, что левая пустая грань будет противоположна той пустой грани, что справа. То есть левая грань – донышко, а правая – крышечка. И как бы мы ни вертели кубик, увидеть все три белые грани враз нам не удастся. Одна из белых граней – или донышко, или крышечка – неизбежно будут закрыты от наших глаз. А на кубике номер четыре мы видим все три белые грани – вот и вскрылось противоречие! Оно ясно показывает нам, что кубик номер четыре к ответу задачи отношения не имеет.
Варианты номер один и номер два отпадают оба по одной и той же причине: мы видим на развертке, что грани с синими кругами – противоположные, значит, на кубике мы не должны видеть одновременно оба круга. Остается вариант номер три. Он и будет являться ответом у этой задачи на куб.
Исследуем карту кубика
Точно так же, опираясь на правило о противоположных гранях куба и используя метод исключения, можно решать задачи с «обратным» содержанием: ищем уже не кубик для развертки, а развертку для кубика:
Анализ разверток из этой задачи – отличный повод потренировать навык мысленного вращения фигур. У нас здесь явно видны три подозрительных варианта. Номера три, четыре и пять. Мы видим, что грани, которые на данном нам рисунке – соседние, там становятся противоположными (донышком Д и крышечкой К).
А вот в вариантах один и два ничего не нарушает идиллию. Эти два варианта и будут правильными ответами. Для серьезной прокачки навыка мысленных поворотов развертки (на уровне высшего пилотажа) советуем прочитать статью, немного связанную с космосом.
Список первоклассных тем для развития мышления
Решая задачи про развертки, мы тренируем и логику (то есть опираемся на некие правила), и пространственное мышление (то есть опираемся на зрительные образы).
Пространственное мышление пригодится, во-первых, чтобы не заблудиться в торговом центре и быть на равных с навигатором. А это уже немало. Ну и во-вторых, чтобы решать олимпиадные и около-олимпиадные задачи по аэрокубизму.
Шутка. Такого названия, к сожалению, не существует. А вот задачи – в том числе олимпиадные – существуют. Просто они называются скучно: «развертки куба». «Аэрокубизм», на мой взгляд, — звучит гораздо динамичнее и ярче. Даже искусственный интеллект со мной согласен — вот такую генерацию он создал про слово «аэрокубизм».
Однако задачи с развертками куба – далеко не единственный способ развить пространственное и логическое мышление. Вот поистине золотые темы, которые прокачивают и то, и другое одновременно:
- вращения фигур
- зеркальные перевороты по горизонтали и вертикали
- проекции фигур
- аэрокубизм (ну не могу удержаться от этого чудесного термина)
Все статьи на эти темы – ловкая отмычка для пространственных головоломок. В каждой описывается секретный прием, который идеально подходит для решения пространственно-логических задач разных типов. Так же, как в этой статье – приём, помогающий решать задачи про кубики. Тут уж непонятно, кто кому больше помогает: логика пространственному мышлению или пространственное мышление — логике. Ну а применять на практике полученные секреты, оттачивать логику на материале пространственных задач и развивать интеллект можно начать прямо сейчас.
Читать еще:
Какими могут быть математические головоломки для маленького Эйнштейна?
Картинки-головоломки: новый хитроумный способ создания фигур в логическом ряду с ловушками
Устраняем «синдром ленивого мозга» на 3 показательных примерах в задачах «Найди закономерность»